Le mouvement d'un simple caillou
conduit par exemple à s'intéresser d'emblée à une
variété présymplectique à treize dimensions, dont
trois compactes qui se rapportent au
groupe de Lie SO(3),
et par linéarisation (petits déplacements) aux matrices
antisymétriques et au fameux "produit vectoriel" (cross product)
curieusement non associatif de l'espace tridimensionnel euclidien
orienté. Or, on ne peut modifier progressivement le mouvement qui
consiste à faire faire un seul tour sur lui-même à un cailloux et
obtenir ainsi le "mouvement" de l'identité, tandis qu'on le peut faire
pour deux : SO(3) n'est pas
simplement connexe, mais il admet un
revêtement universel à deux feuillets qui simplifie cette connexité, et c'est la
sphère $S^3$.
Le film
Dimensions ---
projeté en début d'après-midi, oeuvre superbe des trois scientifiques Jos Leys
(animations), Étienne Ghys (mathématiques) et Aurélien Alvarez
(réalisation) --- présente une partition de cette sphère
tridimensionnelle en cercles deux à deux entrelacés, un
feuilletage qui
possède également une structure dite
fibrée:
l'extraordinaire
fibration de Hopf, que l'on retrouve d'ailleurs dans les petits
mouvements d'un système mécanique
élémentaire (le pendule sphérique), et que ces
auteurs mettent
à la portée de tous les
étudiants scientifiques et, on l'espère, d'une grande
partie des
littéraires, et bien entendus de leurs professeurs et des amis
et
collègues que la chose peut intéresser...
Mais, comme toute discipline vivante, la mécanique, ce
n’est pas que la mécanique. Le processus complet qui
conduit par exemple de la conception initiale d'un nouveau
véhicule à sa distribution commerciale est d'une
complexité qui concerne non seulement la coordination de
systèmes matériels hétérogènes
incluant des éléments solides, liquides, gazeux,
électriques, optiques, etc... et intégrant aussi des
dispositifs électroniques et informatiques, mais aussi et
surtout un nombre impressionnant de personnes exerçant une
grande variété de métiers au sein de très
diverses entreprises : systèmes complexes s'il en est, auxquels
nous sommes d'ailleurs tous plus ou moins directement associés
en tant qu'enseignants, que chercheurs et bien sûr en tant
qu'acheteurs potentiels de ces merveilles de technologie et de design.
Le design, la conception géométriques des pièces
d'un tel système, répond à des contraintes qu'il
faut pouvoir traduire par des équations algébriques
(pour lesquelles on a de nouvelles méthodes
numériques, fondées sur les polytopes de Bernstein). P.
Serré nous montre comment l'incorporation algébrique du
produit scalaire dans ce qu'on appelle des algèbres de Clifford
permet de spécifier ce type de contraintes sous une forme
particulièrement performante.
Mais qu'en est-il de la dynamique de telles structures ? La
théorie des systèmes complexes et de leurs dynamiques
connaît aujourd'hui un renouveau sur plusieurs plans, avec
diverses passerelles entre systèmes discrets et systèmes
continus (section de Poincaré, suspension, etc...). Deux
exposés de cette journée sont particulièrement
consacrés aux notions d'observation et d'observateur : d'une
part l'exposé de D. Boutat en relation avec la
problématique du controle, c'est-à-dire l'art d'amener
une trajectoire solution d'un problème différentiel en un
point décidé à l'avance, ce qui constitue un
thème fondamental de l'automatique théorique, et d'autre
part, l'exposé de G. Vidal-Naquet, lié à
l'informatique théorique, plus particulièrement la
théorie générale des systèmes, et qui se
place dans le contexte des catégories, à savoir
celui des co-algèbres associées à un endofoncteur
d'une catégorie, et pour lesquels les problèmes
d'existence mettent en jeu les univers de la logique
mathématique et des cardinaux inaccessibles.
Je
remercie chaleureusement les conférenciers ainsi que chacun
d'entre vous,
collègues enseignants et/ou chercheurs ayant participé
à cette journée. Chacun pourra trouver dans les documents
ci-après de quoi reprendre ou approfondir les thèmes
abordés, des pistes
intéressantes et qui sait, inattendues, s'y trouvent
certainement. Je remercie également M.
Maillard, directeur de Supméca, à l'origine de cette
journée, Mme Lefort-Bénéjam
qui en assuré la communication, Antoine Lechartier qui en a
réalisé
l'affiche, Arturo Jimenez pour les superbes fractales qu'il a bien
voulu nous laisser en exposition, Lionel Frete à la
technique, Rose et Erina pour l'accueil souriant et le
buffet sympa qu'elles ont assuré dès potron-minet !
Et peut-être à l'année prochaine pour une
nouvelle journée mathématique à Supméca...
:-)