1000 derivation

Notions de base

 

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est une manière d'associer des nombres.


Pour en savoir plus :



Qu'est-ce que la dérivation ?

 

La dérivation est une manière d'obtenir, à partir d'une fonction f, une nouvelle fonction, notée f', que l'on appelle la dérivée de f.

En un sens, f' exprime la vitesse avec laquelle varie la fonction f.


Pour en savoir plus :



Que signifie f' ?

 

f' est la manière usuelle de noter la dérivée de la fonction f.

Qu'est-ce qu'une intégrale ?

Une intégrale est un nombre associé à une fonction et qui en exprime une sorte de bilan.

Dans certains cas, une intégrale peut s'interpréter comme une moyenne des valeurs prises par la fonction considérée.

Dans les cas les plus simples, on peut interpréter une intégrale comme l'aire d'une surface associée à la fonction.

Les notions d'intégrales et de dérivation sont étroitement liées.
En un sens, l'intégration est une dérivation d'ordre &endash;1.

Plus précisément, le calcul intégral repose sur l'utilisation d'une fonction F, appellée primitive, associée à la fonction considérée f.
f est alors la dérivée de F.

Pour en savoir plus sur les intégrales et les primitives :

Qu'est-ce qu'un opérateur ?

Un opérateur est une façon 1000 d'associer à une fonction une autre fonction.

Par exemple, la dérivation est un opérateur.

L'opérateur identité est celui qui ne fait rien : à toute fonction il associe elle-même.

Factorielle d'un entier n.

Le point d'exclamation est utilisé pour désigner une fonction agissant
sur les nombres entiers positifs. Cette fonction est appelée factorielle.

Elle est définie de la façon suivante :

n! = n (n-1) (n-2)...3.2.1

Par exemple, 4 ! = 4.3.2 = 24.

La fonction Gamma


Il existe plusieurs façons de définir la fonction Gamma (). La plus classique consiste à poser :

Cette intégrale, dite intégrale eulérienne, est convergente pour tout réel strictement positif, et c'est un classique exercice à taupins de montrer que, pour n entier :

Comme , on en déduit que lorsque n est entier.

Par prolongement analytique, on obtient une fonction méromorphe sur C, avec des pôles en Z-.

La fonction gamma prolonge ainsi à C la factorielle.



Formule du binôme.

La formule du binôme indique le developpement des puissances d'une somme.

Lorsqu'il s'agit de puissances entières, la formule du binôme repose sur l'utilisation des "coefficients binômiaux", ceux-là même qui constituent le triangle de Pascal.Ces coefficients peuvent être exprimés grâce à la factorielle.


Pour en savoir plus sur le triangle de Pascal :

 

Lorsqu'il s'agit de puissances non entières, on parle de la formule du binôme généralisée :

Dans cette formule, n! désigne "factorielle n".


Pour en savoir plus sur la formule du binôme généralisée :

Qu'est-ce que la formule de Taylor ?

Idée générale de la formule de Taylor

La formule de Taylor permet de remplacer, au voisinage d'un réel donné, une fonction régulière f quelconque par un polynôme d'un certain degré. Ce polynôme est appelé "développement de Taylor" au degré considéré.

Cette formule utilise les dérivées successives de la fonction f.

Lorsqu'on remplace f par un polynôme, on commet une certaine erreur, que l'on appelle le reste. Différentes versions de la formule de Taylor permettent de préciser l'étendue de cette erreur.

Plus la fonction f est régulière (autrement dit : plus elle est dérivable), plus le degré des polynômes peut être pris élevé.

Si f est indéfiniment dérivable, on peut alors considérer des "polynômes de degré infini". De tels "polynômes" sont appelés des séries entières.
Dans ce cas, plusieurs questions se posent : la série entière obtenue est-elle convergente ? converge-t-elle effectivement vers la fonction f ?
Lorsque, au voisinage de tout réel appartenant au domaine de définition de la fonction, la série entière fournie par la formule de Taylor converge vers f, on dit que la fonction f est analytique.

Les différentes formules de Taylor

La formule de Taylor-Lagrange permet de majorer le reste.
La formule de Taylor-Young donne un équivalent du reste au voisinage du point où le développement est considéré.
La formule de Taylor avec reste intégral donne une expression exacte du reste sous forme d'intégrale.
Pour une fonction indéfiniment dérivable, on peut considérer la série de Taylor.

Formule de Taylor-Lagrange :

La fonction f étant supposée (n+1) fois dérivable, f(x + h) peut s'écrire comme la somme

où est le developpement de Taylor de f à l'ordre n, c'est-à-dire le polynôme en h de degré n :

et est le reste de Taylor-Young à l'ordre n :

Le nombre n'est pas connu en général : on sait seulement qu'il existe.
Ceci est toutefois suffisant pour obtenir une majoration du reste si l'on sait que la dérivée (n+1) ème de f est, en valeur absolue, majorée par un réel positif M.


Formule de Taylor-Young :

La fonction f étant supposée n fois dérivable en x, f(x + h) peut s'écrire comme la somme

où est le developpement de Taylor de f à l'ordre n, c'est-à-dire le polynôme en h de degré n :

et est le reste de Taylor-Young à l'ordre n :

Cette dernière formule signifie que le reste est négligeable devant hn lorsque h tend vers 0 (plus n est grand, plus hn tend rapidement vers 0 avec h).

Formule de Taylor avec reste intégral :

La fonction f étant supposée (n+1) fois continuement dérivable, f(x + h) peut s'écrire comme la somme

où est le developpement de Taylor de f à l'ordre n, c'est-à-dire le polynôme en h de degré n :

et est le reste intégral à l'ordre n :

On remarque que, d'après la formule exprimant les primitives successives d'une fonction, le reste intégral est une primitive (n+1)ème de la dérivée (n+1)ème de f. Ce qui est somme toute logique, puisque f et ont même dérivée (n+1)ème (puisque leur différence est un polynôme de degré n).


Série de Taylor :

La fonction f étant supposée indéfiniment dérivable en x, on peut lui associer une série entière en h, dite série de Taylor de f au voisinage de x. Cette série entière est obtenue simplement en poussant à l'infini le développement de Taylor :

Cette série n'est pas nécessairement convergente, ou bien converge uniquement pour des valeurs limitées de h. De plus, lorsqu'elle converge, ce n'est pas nécessairement vers f(x + h).
Toutefois, pour toutes les fonctions "classiques", la série de Taylor converge au voisinage de h = 0 vers f(x + h).



Exemples

Considérons la fonction f (x) = sin (x) en x = 1.
Voici, en rouge, la courbe de sin (1+ h ) au voisinage de h = 0 :



Le développement de Taylor de f en x = 1 à l'ordre 3 s'écrit :

Traçons en noir la courbe de ce polynôme en h :

660

On voit ainsi comment le développement de Taylor (en noir) colle à la fonction considérée (en rouge) au voisinage de h = 0.


Qu'est-ce que la convolution ?

C'est une opération mathématique très importante, qui permet notamment de modéliser le comportement de sytèmes simples Entrée/Sortie de façon aisée, la sortie étant donnée par le produit de convolution de l'entrée par une une fonction qui représente le système. Par exemple, le filtrage (sonore ou visuel ou autre) peut souvent être réalisé mathématiquement par convolution.

 





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