Dérivées d'ordre non entier
description sommaire de la
notion
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L'idée de base
Le principe de base de la dérivation d'ordre non entier consiste en une généralisation de la notion de dérivation.
Partant d'une fonction f, nous pouvons la deriver une fois : nous obtenons f'.
Si, à son tour, nous dérivons f', nous obtenons la dérivée seconde, f''.
On donne ainsi un sens à la dérivée n-ième (ou dérivée d'ordre n)
de la fonction f, où n est un nombre entier positif.Ainsi :
- Pour n = 1, on obtient f'.
- Pour n = 2, on obtient f''.
On peut alors se demander :
comment donner un sens à une dérivée d'ordre n=1,5 ?
Cette question, d'apparence gratuite, est un bon exemple de l'intérêt des mathématiciens pour les généralisations.
En fait, la notion de dérivation d'ordre non entier possède diverses applications en mathématiques et en sciences de l'ingénieur.
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Diverses définitions de la dérivation d'ordre non entier
Plusieurs chemins conduisent à proposer une définition de la dérivation d'ordre non entier :
- Limites de quotients différentiels.
- Généralisation de la formule intégrale pour les primitives n-ième.
- Généralisation de la formule de Cauchy (intégrale de contour).
- Utilisation de fonctions propres de l'opérateur de dérivation.
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Limites de quotients
différentiels
Si on désigne par T (comme translation) l'opérateur
T : f( x ) &endash;> f( x &endash; h ), et par Id l'opérateur identité,
alors la dérivation d'ordre 1 est donnée par la limite,
lorsque h &endash;> 0, de l'opérateur :Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever, formellement, ce dernier opérateur à une puissance non entière.
On obtient ainsi une série infinie:< 1000 P>La convergence de l'action de cet opérateur sur une fonction donnée dépend, a priori, de cette dernière.
Une façon d'assurer la convergence est de ne travailler qu'avec des fonctions à support borné à gauche (de sorte que, pour une valeur de h fixée et pour x donné, Tn(f)(x) est nul dès que l'entier n est suffisament grand : la série numérique à considérer pour une approximation numérique est ainsi finie).
Cette manière de définir la dérivation d'ordre non entier met en évidence le caractère necessairement non local de la dérivation d'ordre non entier.
Il faut dire enfin que les formules obtenues permettent de calculer assez facilement des valeurs approchées des dérivées. C'est ce genre de formules que j'ai utilisé pour calculer l'image qui figure sur la page d'accueil.
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Généralisation
de la formule intégrale pour les primitives
n-ième
La formule suivante exprime par une intégrale unique une primitive n-ième de la fonction f :
Dans cette formule, le symbole "!" désigne la factorielle.
Il faut souligner la présence de la variable x à la fois dans l'intégrant et comme borne de l'intégrale. Il s'agit en fait d'une intégrale de convolution.
On peut remarquer l'analogie entre cette formule et le reste intégral dans la formule de Taylor dite "avec reste intégral". Ceci se comprend bien si l'on songe que ce qui distingue la fonction développée et le reste intégral, c'est le développement de Taylor proprement dit, donc un polynôme qui s'evanouit au bout de n+1 dérivations : ainsi le reste intégral et la fonction f considérée ont même dérivée (n+1)ème, de sorte que le reste intégral est une primitive (n+1)ème de la dérivée (n+1)ème de f.Or, la formule ci-dessus continue d'avoir un sens lorsqu'on donne à n une valeur réelle strictement positive quelconque.
Il suffit pour cela d'utiliser la fonction "Gamma" (), qui vérifie :
lorsque n est un entier strictement positif.
On obtient ainsi une définition de la primitive d'ordre reélle positif n et d'origine a de la fonction f :
Cette formule est appellée "formule de Riemann-Liouville".
La "formule de Riemann-Liouville" ne fonctionne plus pour des ordres d'intégration négatifs, autrement dit pour des ordres positifs de dérivations.
En effet, l'intégrale de convolution ci-dessus sera en général divergente pour n négatif.
Il existe cependant plu 5da sieurs procédés pour définir les dérivées d'ordre positifs.
La manière la plus simple consiste à dériver la formule de Riemann-Liouville à un ordre entier.
Ainsi, pour obtenir la dérivée d'origine a et d'ordre 1,3 d'une fonction intégrable f, on peut dériver à l'ordre 2 la primitive d'ordre 0,7 :
Une autre manière de procéder, équivalente, consiste à prendre la partie finie au sens de Hadamard de l'intégrale divergente donnée par la formule de Riemann-Liouville.
La notion de partie finie d'une intégrale divergente joue un role important en théorie des distributions. En fait, les distributions permettent de définir d'une façon élégante les dérivées d'ordre quelconque.
