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SUPMECA  

MMM
Mélanges mathématiques & mécaniques 

Première journée mathématique à Supméca ( Paris),
25 mai 2009

Documents de référence

Les contributions de MM. Driss Boutat, Philippe Serré, Guy Vidal-Naquet et S. Dugowson sont accessibles au bas de cette page.


Présentation

       "Mélanges mathématiques pour la mécanique", annonce l'affiche. Mais peut-être aurait-il été plus judicieux de titrer cette journée : "Mélanges mathématiques et mécaniques". Le pour, en effetne suggère pas assez le rôle historique moteur que la mécanique a eu, et a toujours, dans le développement des mathématiques elles-mêmes, comme en témoigne par exemple le terme tenseur, la méthode des élements finis ou encore le vaste domaine des  flots hamiltoniens...

     Ce chemin de la mécanique vers les mathématiques a été ouvert par de grands génies, les Huygens, Bernoulli, Leibniz, Euler, Lagrange, Liouville, Riemann, Hamilton, Poincaré, Einstein, Noether...  Ainsi, la mécanique constitue-t-elle une voie extraordinaire pour se propulser directement au coeur des grandes théories mathématiques.
affiche MMM JMS 2009

   Le mouvement d'un simple caillou conduit par exemple à s'intéresser d'emblée à une variété présymplectique à treize dimensions, dont trois compactes qui se rapportent au groupe de Lie  SO(3), et par linéarisation  (petits déplacements) aux  matrices antisymétriques et au fameux "produit vectoriel" (cross product) curieusement non associatif de l'espace tridimensionnel euclidien orienté. Or, on ne peut modifier progressivement le mouvement qui consiste à faire faire un seul tour sur lui-même à un cailloux et obtenir ainsi le "mouvement" de l'identité, tandis qu'on le peut faire pour deux : SO(3) n'est pas simplement connexe, mais il admet un revêtement universel  à deux feuillets qui simplifie cette connexité, et c'est la sphère $S^3$.    

   Le film Dimensions --- projeté en début d'après-midi, oeuvre superbe des trois scientifiques Jos Leys (animations), Étienne Ghys (mathématiques) et Aurélien Alvarez (réalisation) --- présente une partition de cette sphère tridimensionnelle en cercles deux à deux entrelacés, un feuilletage qui possède également une structure dite fibrée: l'extraordinaire fibration de Hopf, que l'on retrouve d'ailleurs dans les petits mouvements d'un système mécanique élémentaire (le pendule sphérique), et que ces auteurs mettent à la portée de tous les étudiants scientifiques et, on l'espère, d'une grande partie des littéraires, et bien entendus de leurs professeurs et des amis et collègues que la chose peut intéresser...

Mais, comme toute discipline vivante, la mécanique, ce n’est pas que la mécanique. Le processus complet qui conduit par exemple de la conception initiale d'un nouveau véhicule à sa distribution commerciale est d'une complexité qui concerne non seulement la coordination de systèmes matériels hétérogènes incluant des éléments solides, liquides, gazeux, électriques, optiques, etc... et intégrant aussi des dispositifs électroniques et informatiques, mais aussi et surtout un nombre impressionnant de personnes exerçant une grande variété de métiers au sein de très diverses entreprises : systèmes complexes s'il en est, auxquels nous sommes d'ailleurs tous plus ou moins directement associés en tant qu'enseignants, que chercheurs et bien sûr en tant qu'acheteurs potentiels de ces merveilles de technologie et de design.

Le design, la conception géométriques des pièces d'un tel système, répond à des contraintes qu'il faut pouvoir traduire par des équations algébriques  (pour lesquelles on a de nouvelles méthodes numériques, fondées sur les polytopes de Bernstein). P. Serré nous montre comment l'incorporation algébrique du produit scalaire dans ce qu'on appelle des algèbres de Clifford permet de spécifier ce type de contraintes sous une forme particulièrement performante.

Mais qu'en est-il de la dynamique de telles structures ? La théorie des systèmes complexes et de leurs dynamiques connaît aujourd'hui un renouveau sur plusieurs plans, avec diverses passerelles entre systèmes discrets et systèmes continus (section de Poincaré, suspension, etc...). Deux exposés de cette journée sont particulièrement consacrés aux notions d'observation et d'observateur : d'une part l'exposé de D. Boutat en relation avec la problématique du controle, c'est-à-dire l'art d'amener une trajectoire solution d'un problème différentiel en un point décidé à l'avance, ce qui constitue un thème fondamental de l'automatique théorique, et d'autre part, l'exposé de G. Vidal-Naquet, lié à l'informatique théorique, plus particulièrement la théorie générale des systèmes, et qui se place dans le  contexte des catégories, à savoir celui des co-algèbres associées à un endofoncteur d'une catégorie, et pour lesquels les problèmes d'existence mettent en jeu les univers de la logique mathématique et des cardinaux inaccessibles.

  Je remercie chaleureusement les conférenciers ainsi que chacun d'entre vous, collègues enseignants et/ou chercheurs ayant participé à cette journée. Chacun pourra trouver dans les documents ci-après de quoi reprendre ou approfondir les thèmes abordés, des pistes intéressantes et qui sait, inattendues, s'y trouvent certainement. Je remercie également M. Maillard, directeur de Supméca, à l'origine de cette journée, Mme Lefort-Bénéjam qui en assuré la communication, Antoine Lechartier qui en a réalisé l'affiche, Arturo Jimenez pour les superbes fractales qu'il a bien voulu nous laisser en exposition, Lionel Frete à la technique, Rose et Erina  pour l'accueil souriant et le buffet sympa qu'elles ont assuré dès potron-minet !

Et peut-être à  l'année prochaine pour une nouvelle journée mathématique à Supméca... :-)

Bien cordialement,

Stéphane Dugowson
stephane [dot] dugowson [at] supmeca.fr
Paris, le 22 juin 2009

Par ordre des interventions :


1. La notion d'observateur pour les systèmes non linéaires,  Driss Boutat (ENSI Bourges)

Article (pdf).
Présentation (pdf).


2. Contraintes et algèbre géométrique : une algèbre de Clifford appliquée aux systèmes articulés, par  Philippe Serré (Supméca Paris)

Présentation (pdf)



3. Film Dimensions

Lien externe : http://www.dimensions-math.org/



4. Coalgèbres et observation, par Guy-Vidal-Naquet (Paris Sud, Supelec)

Présentation (pdf).



5. La mécanique autrement ? ou l'art (symplectique) de retomber sur ses pattes, par Stéphane Dugowson (Supméca Paris)

Article (pdf)

Références

* J.M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques, 1970, réed. Jacques Gabay 2008.
* V. Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, éditions MIR, Moscou (1976)
* P. Iglezias-Zemmour, "Les origines du calcul symplectique chez Lagrange"
* M. Audin :  Intégrable ou pas ? (2004),  Intégrabilité de systèmes hamiltoniens (2004)
* P. Libermann et C. M. Marle, Géométrie symplectique, bases théoriques de la mécanique, vol. 1-4, (Publ. Univ. Paris 7), 1986.

Et pour le chat symplectique :

* R. Montgomery, Gauge theory of the falling cat (1993).